6.證明:1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$>$\sqrt{n}$(n>1).

分析 先證明n=2時(shí),不等式成立,再假設(shè)n=k時(shí),不等式成立,進(jìn)而證明出n=k+1時(shí),運(yùn)用不等式的性質(zhì)即可得到不等式也成立,即可得到結(jié)論.

解答 證明:運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明.
(1)當(dāng)n=2時(shí),左邊=1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$,右邊=$\sqrt{2}$,1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$>$\sqrt{2}$,所以不等式成立;
(2)假設(shè)n=k時(shí)不等式成立,即1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$>$\sqrt{k}$(k≥2,k∈N*),
那么當(dāng)n=k+1時(shí),1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$
>$\sqrt{k}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$=$\frac{\sqrt{k(k+1)}+1}{\sqrt{k+1}}$>$\frac{k+1}{\sqrt{k+1}}$=$\sqrt{k+1}$.
即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.
由(1)、(2)可知,對于任意n∈N+時(shí),原不等式成立.

點(diǎn)評 數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì),其步驟為:設(shè)P(n)是關(guān)于自然數(shù)n的命題,若1)(奠基) P(n)在n=1時(shí)成立;2)(歸納) 在P(k)(k為任意自然數(shù))成立的假設(shè)下可以推出P(k+1)成立,則P(n)對一切自然數(shù)n都成立,本題考查推理能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

16.已知拋物線C:y2=2px(p>0)上的一點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3,焦點(diǎn)為F,且|MF|=4.直線l:y=2x-4與拋物線C交于A,B兩點(diǎn).
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)若直線l1∥l,且直線l1與拋物線C相切于點(diǎn)P,求直線l1的方程及△ABP的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

17.(1)構(gòu)造函數(shù)證明不等式的性質(zhì),若a>b>0,則$\frac{1}{a}<\frac{1}$.
(2)求證:x>2時(shí),x3-6x2+12x-1>7.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

14.已知x>y>0,求證:x+$\frac{1}{y}$>y+$\frac{1}{x}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

1.已知a,b,c,d∈(0,+∞),求證:$\frac{ad+bc}{bd}$+$\frac{bc+ad}{ac}$≥4.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

11.已知正數(shù)x,y,z滿足x+y+z=3,求證:$\frac{\sqrt{x}}{2x+3}$+$\frac{\sqrt{y}}{2y+3}$+$\frac{\sqrt{z}}{2z+3}$≤$\frac{3}{5}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

18.以一年為一個(gè)調(diào)查期,在調(diào)查某商品出廠價(jià)格及銷售價(jià)格時(shí)發(fā)現(xiàn):每件商品的出廠價(jià)格是在6元基礎(chǔ)上按月份隨正弦型函數(shù)曲線波動,已知3月份出廠價(jià)格最高為8元,7月份出廠價(jià)格最低為4元,而每件商品的銷售價(jià)格是在8元基礎(chǔ)上同樣按月份隨正弦型函數(shù)曲線波動,且5月份銷售價(jià)格最高為10元,9月份銷售價(jià)格最低為6元,假設(shè)某商店每月購進(jìn)這種商品m件,且當(dāng)月售完,則該商店的月毛利潤的最大值為6元.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

15.已知拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為Q,過點(diǎn)Q的直線與拋物線相切于點(diǎn)P,F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn),若△PQF的面積為8,則P的值為4.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

16.交通指數(shù)是交通擁堵指數(shù)的簡稱,是綜合反映某區(qū)域道路網(wǎng)在某特定時(shí)段內(nèi)暢通或擁堵實(shí)際情況的概念性指數(shù)值.交通指數(shù)范圍為(0,10),五個(gè)級別規(guī)定如下:
交通指數(shù)(0,2)[2,4)[4,6)[6,8)[8,10)
級別暢通基本暢通輕度擁堵中度擁堵嚴(yán)重?fù)矶?/TD>
某人在工作日上班出行每次經(jīng)過的路段都在同一個(gè)區(qū)域內(nèi),他隨機(jī)記錄了上班的40個(gè)工作日早高峰時(shí)段(早晨7點(diǎn)至9點(diǎn))的交通指數(shù)(平均值),其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如直方圖所示.
(Ⅰ)據(jù)此估計(jì)此人260個(gè)工作日中早高峰時(shí)段(早晨7點(diǎn)至9點(diǎn))中度擁堵的天數(shù);
(Ⅱ)若此人早晨上班路上所用時(shí)間近似為:暢通時(shí)30分鐘,基本暢通時(shí)35分鐘,輕度擁堵時(shí)40分鐘,中度擁堵時(shí)50分鐘,嚴(yán)重?fù)矶聲r(shí)70分鐘,以直方圖中各種路況的頻率作為每天遇到此種路況的概率,求此人上班路上所用時(shí)間X的數(shù)學(xué)期望.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案