Question

【題目】已知正三棱錐P-ABC，Q為BC中點，，，則正三棱錐P-ABC的外接球的半徑為________；過Q的平面截三棱錐P-ABC的外接球所得截面的面積范圍為________．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據正三棱錐，，，有，即，同理，，則此正三棱錐P-ABC為正方體的一角，根據球的直徑為正方體的體對角線的長求解.根據當截面過球心時，截面面積最大，當球心與Q的連線垂直截面時，截面面積最小求截面的面積范圍.

因為正三棱錐，，，

所以，即，

同理，，

因此正三棱錐P-ABC可看作正方體的一角，如圖，

記正方體的體對角線的中點為O，由正方體結構特征可得，O點即是正方體的外接球球心，

所以點O也是正三棱錐P-ABC外接球的球心，

記外接球半徑為R，則，

因為球的最大截面圓為過球心的圓，

所以過Q的平面截三棱錐P-ABC的外接球所得截面的面積最大為；

又Q為BC中點，由正方體結構特征可得；

由球的結構特征可知，當OQ垂直于過Q的截面時，

截面圓半徑最小為，所以．

因此，過Q的平面截三棱錐P-ABC的外接球所得截面的面積范圍為．

故答案為：(1). (2).