Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）在a_n與a_n+1之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)成公差為d_n的等差數(shù)列（如在a₁與a₂之間插入1個數(shù)構(gòu)成第1個等差數(shù)列，其公差為d₁；在a₂與a₃之間插入2個數(shù)構(gòu)成第2個等差數(shù)列，其公差為d₂，…，以此類推），設(shè)第n個等差數(shù)列的和是A_n，，求T_n．

Answer 1

解：（1）∵a_n+1=2S_n+2
∴a_n=2S_n-1+2（n≥2）…（1分）
兩式相減可得a_n+1-a_n=2a_n…（2分）
∴…（3分）
在a_n+1=2S_n+2中令n=1，得a₁=2…（5分）
由等比數(shù)列的通項公式可得：…（6分）
（2）證明：…（7分）
A_n=…（8分）
∴…（10分）
∴…（11分）
=…（12分）
分析：（1）a_n+1=2S_n+2可得a_n=2S_n-1+2（n≥2），兩式相減可得a_n+1-a_n=2a_n然后由等比數(shù)列的定義可得；
（2）由公差的定義可得A_n，進而可得，下面用裂項相消法求解即可．
點評：本題為數(shù)列的通項公式和求和的綜合題目，涉及等比數(shù)列的定義和裂項相消法求和，屬中檔題．