Question

1．已知a＞0，函數(shù)f（x）=ln（$\frac{x}{a}$-1）+$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{2}$．
（Ⅰ） 討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ） 當函數(shù)f（x）存在極值時，設所有極值之和為g（a），求g（a）的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）對函數(shù)f（x）進行求導，得到關(guān)于x的一元二次方程，對△進行討論得到單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，當函數(shù)f（x）存在極值時，$0＜a＜\frac{1}{4}$，且f（x）在x=x₁，x=x₂處取得極值，繼而求得參數(shù)范圍．

解答 解：（Ⅰ） f（x）的定義域為（a，+∞），${f^/}（x）=\frac{{\frac{1}{a}}}{{\frac{x}{a}-1}}-\frac{1}{x^2}=\frac{{{x^2}-x+a}}{{{x^2}（x-a）}}$． …（2分）
方程x²-x+a=0的判別式△=1-4a．
（1）若△≤0，即$a≥\frac{1}{4}$時，在f（x）的定義域（a，+∞）內(nèi)，有f′（x）≥0，∴f（x）在定義域（a，+∞）上為增函數(shù)；                …（3分）
（2）若△＞0，即$0＜a＜\frac{1}{4}$時，方程x²-x+a=0有兩個不同的實數(shù)根為：${x_1}=\frac{{1-\sqrt{1-4a}}}{2}，{x_2}=\frac{{1+\sqrt{1-4a}}}{2}$，且a＜x₁＜x₂．
∴f（x）在$（a，\frac{{1-\sqrt{1-4a}}}{2}）$和$（\frac{{1+\sqrt{1-4a}}}{2}，+∞）$上為增函數(shù)；  …（5分）
在$（\frac{{1-\sqrt{1-4a}}}{2}，\frac{{1+\sqrt{1-4a}}}{2}）$上為減函數(shù)．         …（6分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，當函數(shù)f（x）存在極值時，$0＜a＜\frac{1}{4}$，
且f（x）在x=x₁，x=x₂處取得極值．                        …（8分）
∵x₁+x₂=1，x₁x₂=a，∴f（x）的所有極值之和為：g（a）=f（x₁）+f（x₂）
=$ln（\frac{x_1}{a}-1）+\frac{1}{x_1}+\frac{a}{2}+ln（\frac{x_2}{a}-1）+\frac{1}{x_2}+\frac{a}{2}$=$ln（\frac{{{x_1}{x_2}}}{a^2}-\frac{{{x_1}+{x_2}}}{a}+1）+\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}+a$
=$ln（\frac{a}{a^2}-\frac{1}{a}+1）+\frac{1}{a}+a$=$\frac{1}{a}+a$…（10分）
當$0＜a＜\frac{1}{4}$時，$g（a）=\frac{1}{a}+a$為減函數(shù)，
∴g（a）的取值范圍是$（\frac{17}{4}，+∞）$．…（12分）

點評 本題主要考查了導數(shù)在函數(shù)綜合題中的應用，注意對參數(shù)的討論得到不同的單調(diào)區(qū)間，屬于難度較大的題型．