Question

8．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=2a，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，沿DE將△ADE折起，得到如圖所示的四棱錐A′-BCDE，F(xiàn)是A′B的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面A′CD；
（2）當(dāng)四棱錐A′-BCDE的體積取最大值時(shí)，求平面A′CD與平面A′BE夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取A'C的中點(diǎn)G，連結(jié)DG、EF、GF．運(yùn)用中位線定理證出四邊形DEFG是平行四邊形，從而得到EF∥DG，結(jié)合線面平行的判定定理，即可證出EF∥平面A'CD．
（2）在平面A′CD內(nèi)作A'H⊥CD于點(diǎn)H，利用線面垂直的判定與性質(zhì)，證出A'H⊥底面BCDE，從而得到點(diǎn)H和D重合時(shí)，四棱錐A'-BCDE體積取最大值．然后以DC、DE、DA'所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法進(jìn)行求解．

解答 解：（I）如圖1，取A'C的中點(diǎn)G，連結(jié)DG、EF、GF，則
由中位線定理得DE∥BC、DE=$\frac{1}{2}$BC，且GF∥BC、GF=$\frac{1}{2}$BC．
∴DE∥GF且DE=GF，可得四邊形DEFG是平行四邊形，
∴EF∥DG
∵EF?平面A'CD，DG?平面A'CD，
∴EF∥平面A′CD．----（4分）
（II）在平面A′CD內(nèi)作A'H⊥CD于點(diǎn)H，
∵DE⊥A'D，DE⊥CD，且A'D∩CD=D
∴DE⊥平面A'CD，可得A'H⊥DE，
又∵DE∩CD=D，∴A'H⊥底面BCDE，即A'H就是四棱錐A'-BCDE的高．
由A'H≤AD，得點(diǎn)H和D重合時(shí)，四棱錐A'-BCDE體積取最大值．--（8分）
分別以DC、DE、DA'所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如，2，
則A'（0，0，a），B（a，2a，0），E（0，a，0），
∴$\overrightarrow{A′B}$=（a，2a，-a），$\overrightarrow{A′E}$=（0，a，-a），
設(shè)平面A'BE的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A′B}=ax+2ay-az=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A′E}=ay-az=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-z=0}\\{y=z}\end{array}\right.$
取y=1，得x=-1，z=1．得到$\overrightarrow{m}$=（-，1，1），
同理，可求得平面A'CD的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0）
∴cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{\overrightarrow{|m|}•\overrightarrow{|n|}}$=$\frac{-1×0+1×1+1×0}{\sqrt{3}×1}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
故平面A'CD與平面A'BE夾角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$
綜上所述，四棱錐A'-BCDE體積取最大值時(shí)，平面A′CD與平面A′BE夾角的余弦值等于$\frac{\sqrt{3}}{3}$----（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題給出平面圖形的折疊，求證線面平行并求四棱錐A'-BCDE體積取最大值時(shí)，平面A′CD與平面A′BE夾角的余弦值．著重考查了三角形中位線定理、線面平行的判定定理和利用空間向量的方法研究平面與平面所成角等知識(shí)，屬于中檔題．