Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1+2lnx}{{x}^{2}}$+2f′（1）x．
（I）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）=a+2f′（1）x在[$\frac{1}{e}$，e]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若存在x₁＞x₂＞0，使f（x₁）-klnx₁≤f（x₂）-klnx₂成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）先求出f′（1）=0，f（x）=$\frac{1+2lnx}{{x}^{2}}$，再求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）由題意，a=$\frac{1+2lnx}{{x}^{2}}$=f（x），確定函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{e}$，1）上單調(diào)遞增，在（1，e]上單調(diào)遞減，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-klnx=$\frac{1+2lnx}{{x}^{2}}$-klnx，若函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則g′（x）=-$\frac{4lnx}{{x}^{3}}$-$\frac{k}{x}$≥0，求出k的范圍，再利用其反面，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（I）∵f（x）=$\frac{1+2lnx}{{x}^{2}}$+2f′（1）x，
∴f′（x）=-$\frac{4lnx}{{x}^{3}}$+2f′（1），
∴f′（1）=2f′（1），
∴f′（1）=0，f（x）=$\frac{1+2lnx}{{x}^{2}}$，
∴f（1）=1，
∴函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程是y-1=0；
（Ⅱ）由題意，a=$\frac{1+2lnx}{{x}^{2}}$=f（x），
∴f′（x）=-$\frac{4lnx}{{x}^{3}}$=0，可得x=1．
∴函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{e}$，1）上單調(diào)遞增，在（1，e]上單調(diào)遞減，
∵f（$\frac{1}{e}$）=-e²，f（1）=1，f（e）=$\frac{3}{{e}^{2}}$，關(guān)于x的方程f（x）=a+2f′（1）x在[$\frac{1}{e}$，e]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
∴$\frac{3}{{e}^{2}}$＜a＜1；
（Ⅲ）構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-klnx=$\frac{1+2lnx}{{x}^{2}}$-klnx，
∴g′（x）=-$\frac{4lnx}{{x}^{3}}$-$\frac{k}{x}$，
若函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則g′（x）=-$\frac{4lnx}{{x}^{3}}$-$\frac{k}{x}$≥0，
∴k≤-$\frac{4lnx}{{x}^{2}}$，
令h（x）=-$\frac{4lnx}{{x}^{2}}$，則h′（x）=-$\frac{4x-8xlnx}{{x}^{4}}$，
∴函數(shù)h（x）在（0，$\sqrt{e}$）上單調(diào)遞減，（$\sqrt{e}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x=$\sqrt{e}$時(shí)，h（x）_min=-$\frac{2}{e}$，
∴k≤-$\frac{2}{e}$，
∵存在x₁＞x₂＞0，使f（x₁）-klnx₁≤f（x₂）-klnx₂成立，
∴k＞-$\frac{2}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．