Question

已知f（x）是定義在R上不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a_n=f（2ⁿ）（n∈N^*），且a₁=2，求數(shù)列的通項(xiàng)公式為a_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：令x=2，y=2^n-1，得f（2ⁿ）=2f（2^n-1）+2^n-1a₁，從而得到數(shù)列{

an

2n

}是以

a1

2

=1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，由此能求出a_n=n•2ⁿ．

解答： 解：令x=2，y=2^n-1，
則f（x•y）=f（2ⁿ）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2），
即f（2ⁿ）=2f（2^n-1）+2^n-1a₁，
an=2an-1+2n，

an

2n

=

an-1

2n-1

+1，
∴數(shù)列{

an

2n

}是以

a1

2

=1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴

an

2n

=n，
由此可得a_n=n•2ⁿ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．