Question

設正項等比數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₃=4，S₂=3．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=

2

log2a2n?log2a2n+2

，令數列{b_n}的前n項和為T_n．證明：T_n＜1．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：計算題,等差數列與等比數列

分析：（1）公式法求通項公式；（2）化簡b_n，裂項求和法求T_n

解答： 解：（1）由題意可得

a1q2=4 a1+a1q=3

解得

a1=1 q=2

；
所以an=2n-1．
（2）bn=

2

log2a2n•log2a2n+2

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

所以Tn=1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

=1-

1

2n+1

，
因為

1

2n+1

＞0，所以T_n＜1．

點評：本題考查了通項公式的一般求法及裂項求和法，屬于基礎題．