Question

20．已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-2．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調遞增區(qū)間；
（2）當x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）化簡函數(shù)f（x），即可求出f（x）的最小正周期與單調遞增區(qū)間；
（2）求出x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]時，2x+$\frac{π}{4}$的取值范圍，即可得出sin（2x+$\frac{π}{4}$）的取值范圍，從而求出函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-2
=（1+2sinxcosx）+2•$\frac{1+cos2x}{2}$-2
=sin2x+cos2x
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π；
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為[-$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{π}{8}$+kπ]，（k∈Z）；
（2）當x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]時，$\frac{π}{2}$≤2x≤$\frac{3π}{2}$，
∴$\frac{3π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{7π}{4}$，
∴-1≤sin（2x+$\frac{π}{4}$）≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴-$\sqrt{2}$≤f（x）≤1；
即函數(shù)f（x）的值域是[-$\sqrt{2}$，1]．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換以及三角函數(shù)的圖象與性質的應用問題，是基礎題目．