Question

5．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足3a_n-2S_n-1=0．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）b_n=$\frac{n（2{S}_{n}+1）}{{a}_{n}}$，數列{b_n}的前n項和為T_n，求f（n）=$\frac{_{n}}{{T}_{n}+24}$（n∈N₊）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由3a_n-2S_n-1=0，①則3a_n+1-2S_n+1-1=0，②然后②-①得a_n+1=3a_n，求出數列{a_n}是公比為3的等比數列，進一步求出首項，則數列{a_n}的通項公式可求；
（2）由①知，2S_n=3a_n-1，求出b_n=3n，再求出T_n，然后由基本不等式即可求出f（n）的最大值．

解答 解：（1）由3a_n-2S_n-1=0，①
則3a_n+1-2S_n+1-1=0，②
②-①得a_n+1=3a_n，
∴數列{a_n}是公比為3的等比數列．
由3a₁-2S₁-1=0，得a₁=1，
∴${a}_{n}={3}^{n-1}$；
（2）由①知，2S_n=3a_n-1，
∴b_n=$\frac{n（2{S}_{n}+1）}{{a}_{n}}$=3n．
${T}_{n}=\frac{n（_{1}+_{n}）}{2}=\frac{3{n}^{2}+3n}{2}$．
$f（n）=\frac{_{n}}{{T}_{n}+24}=\frac{3n}{\frac{3{n}^{2}+3n}{2}+24}$=$\frac{2n}{{n}^{2}+n+16}=\frac{2}{n+\frac{16}{n}+1}≤\frac{2}{9}$．
當且僅當$n=\frac{16}{n}$，即n=4時，等號成立．
∴f（n）的最大值為$f（4）=\frac{2}{9}$．

點評 本題考查了數列的通項公式，考查了數列的前n項和，是中檔題．