Question

11．設(shè)F₁、F₂分別是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，C上的動(dòng)點(diǎn)M到兩點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離之和為10，且cos∠F₁MF₂的最小值為$\frac{7}{25}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P為橢圓C的長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P且斜率為k的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，是否存在常數(shù)k，使|PA|²+|PB|²為定值？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的性質(zhì)可得：當(dāng)點(diǎn)M為橢圓短軸的端點(diǎn)時(shí)，∠F₁MF₂取得最大值，已知cos∠F₁MF₂的最小值為$\frac{7}{25}$，可得$\frac{2{a}^{2}-4{c}^{2}}{2{a}^{2}}$=$\frac{7}{25}$，又2a=10，b²=a²-c²，聯(lián)立解得即可得出．
（2）假設(shè)存在常數(shù)k，使|PA|²+|PB|²為定值．設(shè)P（t，0），t∈[-5，5]．設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-t），化為my=x-t，$（k≠0時(shí)，m=\frac{1}{k}）$．與橢圓方程聯(lián)立化為：（25+16m²）y²+32mty+16t²-400=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：|PA|²+|PB|²=$\frac{512{t}^{2}（512{m}^{4}+512{m}^{2}+400）+20000+12800{m}^{2}}{（25+16{m}^{2}）^{2}}$，由于上述數(shù)值與t有關(guān)系，因此不存在常數(shù)k，使|PA|²+|PB|²為定值．當(dāng)k=0時(shí)，上述結(jié)論也成立．

解答 解：（1）由橢圓的性質(zhì)可得：當(dāng)點(diǎn)M為橢圓短軸的端點(diǎn)時(shí)，∠F₁MF₂取得最大值，
∵cos∠F₁MF₂的最小值為$\frac{7}{25}$，∴$\frac{2{a}^{2}-4{c}^{2}}{2{a}^{2}}$=$\frac{7}{25}$，
化為5c=3a，
又2a=10，聯(lián)立解得a=5，c=3，∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=4．
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
（2）假設(shè)存在常數(shù)k，使|PA|²+|PB|²為定值．設(shè)P（t，0），t∈[-5，5]．
設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-t），化為my=x-t，$（k≠0時(shí)，m=\frac{1}{k}）$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-t}\\{16{x}^{2}+25{y}^{2}=400}\end{array}\right.$，
化為：（25+16m²）y²+32mty+16t²-400=0，
△=（32mt）²-4（25+16m²）（16t²-400）＞0．
y₁+y₂=$\frac{-32mt}{25+16{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{16{t}^{2}-400}{25+16{m}^{2}}$．
x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2t，
|PA|²+|PB|²=$（{x}_{1}-t）^{2}+{y}_{1}^{2}$+$（{x}_{2}-t）^{2}$+${y}_{2}^{2}$
=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2t（x₁+x₂）+2t²+${y}_{1}^{2}+{y}_{2}^{2}$
=$（1+{m}^{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}$+2mt（y₁+y₂）+2t²-2y₁y₂
=$\frac{1024{m}^{2}{t}^{2}（1+{m}^{2}）}{（25+16{m}^{2}）^{2}}$-$\frac{64{m}^{2}{t}^{2}}{25+16{m}^{2}}$-$\frac{2（16{t}^{2}-400）}{25+16{m}^{2}}$+2t²
=$\frac{512{t}^{2}（512{m}^{4}+512{m}^{2}+400）+20000+12800{m}^{2}}{（25+16{m}^{2}）^{2}}$，
由于上述數(shù)值與t有關(guān)系，因此不存在常數(shù)k，使|PA|²+|PB|²為定值．
當(dāng)k=0時(shí)，上述結(jié)論也成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、兩點(diǎn)之間的距離公式、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．