Question

17．已知向量$\overrightarrow a=（{\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，向量$\overrightarrow b=（{-1，0}）$，向量$\overrightarrow c$滿足$\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c=\overrightarrow 0$．
（1）若$\overrightarrow d=k\overrightarrow a-\overrightarrow b$，且$\overrightarrow a⊥\overrightarrow d$，求$|\overrightarrow d|$的值；
（2）若$\overrightarrow a-k\overrightarrow b$與$2\overrightarrow b+\overrightarrow c$共線，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）由已知求得$|\overrightarrow{a}|$及$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，再由$\overrightarrow d=k\overrightarrow a-\overrightarrow b$且$\overrightarrow a⊥\overrightarrow d$列式求得k值，進(jìn)一步得到$\overrightarrow6ftuk2n$的坐標(biāo)，代入向量模的公式求$|\overrightarrow d|$的值；
（2）由已知可得$\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{a}-\overrightarrow$，則$2\overrightarrow+\overrightarrow{c}=\overrightarrow-\overrightarrow{a}$，由$\overrightarrow a-k\overrightarrow b$與$2\overrightarrow b+\overrightarrow c$共線可得$\overrightarrow{a}-k\overrightarrow=λ（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）$，由此求得k值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a=（{\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，∴$|\overrightarrow{a}|=1$，
又$\overrightarrow b=（{-1，0}）$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-\frac{1}{2}$，
而$\overrightarrow d=k\overrightarrow a-\overrightarrow b$，且$\overrightarrow a⊥\overrightarrow d$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrowack22of=\overrightarrow{a}•（k\overrightarrow{a}-\overrightarrow）=k+\frac{1}{2}=0$，得k=-$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow d=k\overrightarrow a-\overrightarrow b$=$（\frac{3}{4}，-\frac{\sqrt{3}}{4}）$，則|$\overrightarrowfq27tdp$|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）由$\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c=\overrightarrow 0$，得$\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{a}-\overrightarrow$，
∴$2\overrightarrow+\overrightarrow{c}=\overrightarrow-\overrightarrow{a}$，
∵$\overrightarrow a-k\overrightarrow b$與$2\overrightarrow b+\overrightarrow c$共線，
∴$\overrightarrow{a}-k\overrightarrow=λ（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）$，解得：k=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了向量垂直與共線的坐標(biāo)運(yùn)算，是中檔題．