Question

6．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，過(guò)C（-1，0）點(diǎn)且斜率為1的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且C點(diǎn)分有向線段$\overrightarrow{AB}$所成的比為3．
（1）求該橢圓方程；
（2）P，Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，滿足$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，探求$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$是否為定值，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得到a²=2b²，直線l的方程為y=x+1，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2^{2}}\end{array}\right.$，得3x²+4x+2-2b²=0，再由C點(diǎn)分有向線段$\overrightarrow{AB}$所成的比為3，結(jié)合韋達(dá)定理求出b²=1，a²=2，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)直線PQ為：y=kx+m，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合已知條件能求出$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$為定值．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴${e}^{2}=\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，∴a²=2b²，
∵過(guò)C（-1，0）點(diǎn)且斜率為1的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，
∴直線l的方程為y=x+1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2^{2}}\end{array}\right.$，得3x²+4x+2-2b²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4}{3}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2-2^{2}}{3}$，
∵C點(diǎn)分有向線段$\overrightarrow{AB}$所成的比為3，∴$\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{CB}$，
∴（-1-x₁，-y₁）=3（x₂+1，y₂），∴x₁+3x₂+4=0，
∴$（{x}_{1}+{x}_{2}）+2{x}_{2}+4=-\frac{4}{3}+2{x}_{2}+4=0$，
解得${x}_{2}=-\frac{4}{3}$，x₁=0，
∴b²=1，a²=2，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）設(shè)直線PQ為：y=kx+m，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
設(shè)P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），則${x}_{3}+{x}_{4}=-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{3}{x}_{4}=\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∴y₃y₄=（kx₃+m）（kx₄+m）=$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∵x₃x₄+y₃y₄=0，
∴2m²-2+m²-2k²=0，∴$\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
∴原點(diǎn)到直線PQ的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
$\frac{1}{|OP{|}^{2}}+\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$=$\frac{|OP{|}^{2}+|OQ{|}^{2}}{（|OP{||OQ|}^{2}）}$=（$\frac{|PQ|}{|OP||OQ|}$）²=$\frac{1}{udbq9ma^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
當(dāng)PQ的斜率不存在時(shí)，仍然滿足上述關(guān)系，
綜上，$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$為定值$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查代數(shù)式和是否為定值的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線距離公式、向量、橢圓等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．