Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=log2（4x+1）﹣x，g（x）=log2a+log2（2x﹣ ）（a＞0，x＞1）．
（1）證明函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（2）若函數(shù)f（x）﹣g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：f（x）的定義域是R，

f（﹣x）=log2（4﹣x+1）+x

=log2 +x

=log2（4x+1）﹣log222x+x

=log2（4x+1）﹣2x+x

=f（x），

故f（x）在R是偶函數(shù)

（2）解：由題意：函數(shù)f（x）﹣g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，即f（x）=g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，

可得：log2（4x+1）﹣x=log2a+log2（2x﹣ ）（a＞0）

整理得： ．

即：

令2x=t

∵x＞1，

∴t＞2

轉(zhuǎn)化為f（t）= （t＞2）與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題．

當(dāng)a﹣1=0，即a=1時(shí)，f（t）=

∵t＞2，∴f（t）恒小于0，與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．

當(dāng)a﹣1＞0，即a＞1時(shí)，f（t）與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，需那么f（2）＜0．

解得： ，

所以： ．

當(dāng)a﹣1＜0，即0＜a＜1時(shí)，f（t）與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，需那么f（2）＞0，此時(shí)無(wú)解．

綜上所得：函數(shù)f（x）﹣g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1， ）

【解析】（1）求解定義域，利用定義進(jìn)行判斷即可．（2）函數(shù)f（x）﹣g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，即f（x）=g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，化簡(jiǎn)計(jì)算，轉(zhuǎn)化成二次方程問(wèn)題求解．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)的奇偶性(偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)．