Question

10．已知函數(shù)f（x）=x²-3x+alnx（a＞0），若a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

分析 求導(dǎo)函數(shù)f′（x）=2x-3+$\frac{1}{x}$，判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)的極值．

解答 解：f（x）的定義域為（0，+∞），
當(dāng)a=1時，f（x）=x²-3x+lnx，
f′（x）=2x-3+$\frac{1}{x}$
=$\frac{2{x}^{2}-3x+1}{x}$，
由2x²-3x+1=0，得x₁=1，x₂=$\frac{1}{2}$．
由2x²-3x+1＞0，得x＜$\frac{1}{2}$，或x＞1，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$），（1，+∞）．
由2x²-3x+1＜0，得 $\frac{1}{2}$＜x＜1，∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（ $\frac{1}{2}$，1）．
∴f（x）極大值為f（ $\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{4}$-ln2
極小值為f（1）=-2；

點評 題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減；若x₀滿足f′（x₀）=0，且在x₀的兩側(cè)f（x）的導(dǎo)數(shù)異號，則x₀是f（x）的極值點，f（x₀）是極值，并且如果f′（x）在x₀兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則x₀是f（x）的極大值點，f（x₀）是極大值；如果f′（x）在x₀兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則x₀是f（x）的極小值點，f（x₀）是極小值．