Question

16．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+3x-9．
（1）若a=-1時，求函數(shù)f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在x=-3時取得極值，當x∈[-4，-1]時，求使得f（x）≥m恒成立的實數(shù)m的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調遞減，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f（2），f′（2），代入切線方程即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，求出a的值，得到函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出f（x）的最小值，得到m的范圍即可；
（3）問題轉化為a≤-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{x}$）在[1，2]恒成立，令h（x）=-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{x}$），x∈[1，2]，根據(jù)函數(shù)的單調性求出h（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）a=-1時，f（x）=x³-x²+3x-9，
f′（x）=3x²-2x+3，
f′（2）=11，f（2）=1，
故切線方程是：y-1=11（x-2），
即11x-y-21=0；
（2）f′（x）=3x²+2ax+3，
f′（-3）=30-6a=0，解得：a=5，
∴f（x）=x³+5x²+3x-9，
f′（x）=（3x+1）（x+3），
令f′（x）＞0，解得：x＞-$\frac{1}{3}$或x＜-3，
令f′（x）＜0，解得：-3＜x＜-$\frac{1}{3}$，
∴f（x）在[-4，-3）遞增，在（-3，-1]遞減，
∴f（x）的最小值是f（-4）或f（-1），
而f（-4）=-5，f（-1）=-8，
∴m≤-8；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調遞減，
則f′（x）=3x²+2ax+3≤0在[1，2]恒成立，
即a≤-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{x}$）在[1，2]恒成立，
令h（x）=-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{x}$），x∈[1，2]，
h′（x）=-$\frac{3（x-1）（x+1）}{{2x}^{2}}$＜0在[1，2]恒成立，
∴h（x）在[1，2]遞減，h（x）_min=h（2）=-$\frac{15}{4}$，
∴a≤-$\frac{15}{4}$．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．