Question

如圖，三棱柱ABC-A′B′C′中，點(diǎn)A′在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC′=2．
（1）證明：AC′⊥A′B；
（2）設(shè)直線AA₁與平面BCC₁B₁的距離為

3

，求二面角A′-AB-C的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得平面AA′C′C⊥平面ABC．BC⊥平面AA′C′C，由此能證明AC′⊥A′B．
（2）由已知得平面AA′C′C⊥平面BCC′B′．作AE′⊥CC′，E為垂足，則A′E⊥平面BCC′B′．推導(dǎo)出A′E為直線AA′與平面BCC′B′的距離，由此能求出二面角A′-AB-C的正切值．

解答： （本小題12分）
（1）證明：因?yàn)锳′D⊥平面ABC，A′D?平面AA′C′C，
故平面AA′C′C⊥平面ABC．
又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA′C′C，
連接A′C，因?yàn)閭?cè)面AA′C′C為菱形，所以AC′⊥A′C，
故AC′⊥A′B．（4分）
（2）解：∵BC⊥平面AA′C′C，BC?平面BCC′B′，
∴平面AA′C′C⊥平面BCC′B′．
作AE′⊥CC′，E為垂足，則A′E⊥平面BCC′B′．
又直線AA′∥平面BCC′B′，
因而A′E為直線AA′與平面BCC′B′的距離，A′E=

3

．
因?yàn)锳′C為∠ACC′的平分線，故A′D=A′E=

3

．
作DF⊥AB，F(xiàn)為垂足，連接A′F．由三垂線定理得A′F⊥AB，
∴∠A′FD為二面角A′-AB-C的平面角，
由AD=

AA′2-A′D2

=1，得D為AC中點(diǎn)，
DF=

1

2

×

AC×BC

AB

=

5

5

，tan∠A′FD=

A′B

DF

=

15

，
∴二面角A′-AB-C的正切值為

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．