Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+2ax-1，若f（x）在[-1，1]上的最大值為g（a），求g（a）的解析式．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先對解析式配方，確定函數(shù)的對稱軸，由于只求最大值，根據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系分三種情形討論，最后用分段函數(shù)形式表示出函數(shù)的最大值．

解答： 解：由題意得，f（x）=-（x-a）²+a²-1，
①當(dāng)a≤-1時，f（x）在[-1，1]上單調(diào)減，
∴f（x）_max=f（-1）=-2a-2，
②當(dāng)-1＜a＜1時，f（x）在[-1，a]上單調(diào)增，在（a，1]上單調(diào)，
∴f(x)max=f(a)=a2-1，
③當(dāng)a≥1時，f（x）在[-1，1]上單調(diào)增，
∴f（x）_max=f（1）=2a-2，
綜上得，g(a)=

-2a-2 ，a≤-1 a2-1 ，-1＜a＜1 2a-2 ，a≥1

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，特別是求二次函數(shù)的最值，需要分類討論，做到不重不漏，解題時要學(xué)會用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題．