Question

4．已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：a_n+1=$\frac{{a}_{n}+_{n}}{\sqrt{{a}_{n}^{2}+_{n}^{2}}}$，b_n+1=1+$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$，n∈N^*，
（1）求證：數(shù)列{（$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$）²}是等差數(shù)列；
（2）若a₁=b₁=1令（$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$）²=$\frac{1}{{c}_{n}}$，若S_n=C₁C₂+C₂C₃+…+C_nC_n+1，求S_n；
（3）在（2）的條件下，設(shè)d_n=$\frac{3-{S}_{n-1}}{1-\sqrt{11}（1-{S}_{n-1}）}$，若d_n≤2m-1，對于任意的n∈N₊恒成立，求正整數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析 （1）由條件求得$\frac{_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{1+（\frac{_{n}}{{a}_{n}}）^{2}}$，可得（$\frac{_{n+1}}{{a}_{n+1}}$）²-（$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$）²=1，由等差數(shù)列的定義，即可得證；
（2）運用等差數(shù)列的通項公式，可得（$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$）²=1+（n-1）=n，可得c_n=$\frac{1}{n}$，再由$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，運用數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，即可得到所求和；
（3）化簡可得d_n=2+$\frac{2\sqrt{11}+1}{n-\sqrt{11}}$，討論當n∈（-∞，$\sqrt{11}$）時，d_n單調(diào)遞減；當n∈（$\sqrt{11}$，+∞）時，d_n單調(diào)遞減，且n為正整數(shù)．可得（d_n）_max=d₄，由恒成立思想，解m的不等式，即可得到m的最小值．

解答 解：（1）證明：由b_n+1=1+$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}+_{n}}{{a}_{n}}$，
可得a_n+1=$\frac{{a}_{n}+_{n}}{\sqrt{{a}_{n}^{2}+_{n}^{2}}}$=$\frac{_{n+1}}{\sqrt{1+（\frac{_{n}}{{a}_{n}}）^{2}}}$，
即$\frac{_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{1+（\frac{_{n}}{{a}_{n}}）^{2}}$，
可得（$\frac{_{n+1}}{{a}_{n+1}}$）²-（$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$）²=（$\sqrt{1+（\frac{_{n}}{{a}_{n}}）^{2}}$）²-（$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$）²=1（n∈N^*），
則數(shù)列{（$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$）²}是以1 為公差的等差數(shù)列；
（2）$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$=1，由（1）知，公差為1，
即有（$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$）²=1+（n-1）=n，
可得c_n=$\frac{1}{n}$，
故S_n=C₁C₂+C₂C₃+…+C_nC_n+1=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$；
（3）d_n=$\frac{3-{S}_{n-1}}{1-\sqrt{11}（1-{S}_{n-1}）}$
=$\frac{3-\frac{n-1}{n}}{1-\sqrt{11}（1-\frac{n-1}{n}）}$=$\frac{2n+1}{n-\sqrt{11}}$=2+$\frac{2\sqrt{11}+1}{n-\sqrt{11}}$，
當n∈（-∞，$\sqrt{11}$）時，d_n單調(diào)遞減；
當n∈（$\sqrt{11}$，+∞）時，d_n單調(diào)遞減，且n為正整數(shù)．
則（d_n）_max=d₄=$\frac{36+9\sqrt{11}}{5}$≤2m-1，
可得m≥$\frac{41+9\sqrt{11}}{10}$，
由m為正整數(shù)，可得m的最小值為8．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，注意運用構(gòu)造法和等差數(shù)列的定義，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，同時考查數(shù)列不等式恒成立問題的解法，注意運用數(shù)列的單調(diào)性，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．