Question

16．（1）對一切實數(shù)x不等式（m+1）x²-2（m+1）x-m≤0恒成立，求m的取值范圍；
（2）對一切實數(shù)x不等式（m+1）x²-2（m+1）x-m＜0恒成立，求m的取值范圍；
（3）對一切實數(shù)x不等式（m+1）x²-2（m+1）x-m≥0恒成立，求m的取值范圍；
（4）求函數(shù)y=（m+1）x²-2（m+1）x-m≥0的最值？（其中m為常數(shù)）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，對字母系數(shù)m進行討論，求出對應m的取值范圍；
（2）根據(jù)題意，對字母系數(shù)m進行討論，求出對應m的取值范圍；
（3）根據(jù)題意，討論m的取值，列出對應的不等式，求出m的取值范圍；
（4）討論m+1＞0？=0？還是＜0？，求出對應函數(shù)y的最值．

解答 解：（1）當m+1=0時，m=-1，不等式化為1≤0，顯然不成立；
當m+1≠0，即m≠-1時，應滿足$\left\{\begin{array}{l}{m+1＜0}\\{△≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m＜-1}\\{{4（m+1）}^{2}-4（m+1）•（-m）≤0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m＜-1}\\{-1≤m≤-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
此不等式組無解，
∴m的取值范圍是∅；
（2）當m+1=0時，m=-1，不等式化為1＜0，顯然不成立；
當m+1≠0，即m≠-1時，應滿足$\left\{\begin{array}{l}{m+1＜0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{{4（m+1）}^{2}-4（m+1）•（-m）＜0}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{m＜-1}\\{-1＜m＜-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
此不等式組無解，
∴m的取值范圍是∅；
（3）當m+1=0，即m=-1時，不等式化為1≥0，恒成立；
當m+1≠0，即m≠-1時，應滿足$\left\{\begin{array}{l}{m+1＞0}\\{△≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m＞-1}\\{{4（m+1）}^{2}-4（m+1）•（-m）≤0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m＞-1}\\{-1≤m≤-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
即-1＜m≤$\frac{1}{2}$；
綜上，m的取值范圍是{m|-1≤m≤-$\frac{1}{2}$}；
（4）當m+1=0時，m=-1，函數(shù)應為y=1，最大、最小值都是1；
當m+1≠0，即m≠-1時，若m+1＞0，即m＞-1時，
函數(shù)y=（m+1）x²-2（m+1）x-m有最小值，
為$\frac{4（m+1）•（-m）-{4（m+1）}^{2}}{4（m+1）}$=-2m-1；
若m+1＜0，即m＜-1時，
函數(shù)y=（m+1）x²-2（m+1）x-m有最大值，
為$\frac{4（m+1）•（-m）-{4（m+1）}^{2}}{4（m+1）}$=-2m-1．

點評 本題考查了不等式恒成立問題，也考查了求二次函數(shù)的最值問題以及分類討論的應用問題，是綜合性題目．