Question

9．在正方體ABCD-A′B′C′D′中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱A′B′，A′D′，B′C′，C′D′的中點(diǎn)，求證：平面AEF∥平面BGHD．

Answer 1

分析 利用中位線定理證明EF∥GH，得出GH∥平面AEF，連接AC交BD于O，連接A′C′交EF于M，交GH于N，交B′D′于O′，則可證四邊形AONM為平行四邊形，得出AM∥ON，于是ON∥平面AEF，于是得出平面AEF∥平面BGHD．

解答 證明：連接B′D′，
∵E，F(xiàn)，G，H分別是棱A′B′，A′D′，B′C′，C′D′的中點(diǎn)，
∴EF∥B′D′，HG∥B′D′，
∴EF∥HG，又EF?平面AEF，HG?平面AEF，
∴HG∥平面AEF．
連接AC交BD于O，連接A′C′交EF于M，交GH于N，交B′D′于O′，
則A′M=C′N=$\frac{1}{2}AO′$，∴MN=$\frac{1}{2}$A′C′，
又AO=$\frac{1}{2}$AC，AC=A′C′，AC∥A′C′，
∴四邊形AONM是平行四邊形，
∴AM∥ON，又AM?平面AEF，ON?平面AEF，
∴ON∥平面AEF，
又ON?平面BGHD，HG?平面BGHD，HG∩ON=N，
∴平面AEF∥平面BGHD．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行的判定定理，面面平行的判定定理，屬于中檔題．