Question

3．（1）求與橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$有共同焦點(diǎn)且過點(diǎn)$（{3，\sqrt{2}}）$的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，拋物線上的點(diǎn)M（-3，m）到焦點(diǎn)的距離等于5，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和m的值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$，可得焦點(diǎn)，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），則a²+b²=4，$\frac{9}{{a}^{2}}-\frac{2}{^{2}}$=1，解出即可得出．
（2）設(shè)拋物線方程為y²=-2px（p＞0），則焦點(diǎn)$F（{-\frac{p}{2}，0}）$，準(zhǔn)線方程為$x=\frac{p}{2}$，根據(jù)拋物線的定義，可得$3+\frac{p}{2}=5$，解得p，把點(diǎn) M（-3，m）代入拋物線即可得出．

解答 解：（1）橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$的焦點(diǎn)為（2，0），（-2，0），
設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），則a²+b²=4，$\frac{9}{{a}^{2}}-\frac{2}{^{2}}$=1，
解得a²=3，b²=1，
∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$．
（2）設(shè)拋物線方程為y²=-2px（p＞0），則焦點(diǎn)$F（{-\frac{p}{2}，0}）$，準(zhǔn)線方程為$x=\frac{p}{2}$，
根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離等于5，也就是點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為5，則$3+\frac{p}{2}=5$，∴p=4，
因此，拋物線方程為y²=-8x，
又點(diǎn) M（-3，m）在拋物線上，于是m²=24，∴$m=±2\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐曲線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．