Question

5．已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）對(duì)一切的x∈（0，+∞）時(shí)，2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極小值即可；
（Ⅱ）3x²+2ax-1+2≥2xlnx在x∈（0，+∞）上恒成立將a分離可得a≥lnx-$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2x}$，設(shè)h（x）=lnx-$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2x}$，利用導(dǎo)數(shù)研究h（x）的最大值，可求出a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=xlnx，x＞0，
f′（x）=1+lnx，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）遞增，
∴f（x）的極小值是f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$；
（Ⅱ）∵g′（x）=3x²+2ax-1，
由題意：3x²+2ax-1+2≥2xlnx在x∈（0，+∞）上恒成立，
即3x²+2ax+1≥2xlnx，可得a≥lnx-$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2x}$，
設(shè)h（x）=lnx-$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2x}$，則h′（x）=-$\frac{（x-1）（3x+1）}{{2x}^{2}}$，
令h′（x）=0，得x=1，x=-$\frac{1}{3}$（舍），
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＜0，
∴當(dāng)x=1時(shí)，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2，
∴a≥-2，即a的取值范圍是[-2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想和計(jì)算能力．