Question

4．已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=BB₁=$\sqrt{2}$，在四邊形ABC₁D₁內(nèi)隨機取一點M，則滿足∠AMB≥135°的概率為（　　）

• A． $\frac{π}{8}$
• B． $\frac{π-2}{8}$
• C． $\frac{2π-3\sqrt{3}}{12}$
• D． $\frac{2\sqrt{2}-2}{8}$

Answer 1

分析 由題意通過圓和三角形的知識確定滿足條件的圖形，分別找出滿足條件的點集對應(yīng)的圖形面積，及圖形的總面積，作比值即可．

解答 解：長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=BB₁=$\sqrt{2}$，
∴B₁C₁=2，
∴四邊形ABC₁D₁為正方形，其面積為2×2=4，
以AB為底邊，向正方形外作頂角為90°的等腰三角形，以等腰三角形的頂點O為圓心，OA為半徑作圓，
根據(jù)圓周角相關(guān)定理，弧AB所對的圓周角為135°．即當(dāng)M取圓O與ABC₁D₁的公共部分（弓形），∠AMB必大于135°
其中AB=2，OA=$\sqrt{2}$，
S_陰影=$\frac{1}{4}$π（$\sqrt{2}$）²-$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=$\frac{π}{2}$-1，
故所求的概率為$\frac{\frac{π}{2}-1}{4}$=$\frac{π-2}{8}$，
故選：B．

點評 本題考查幾何概型的概率計算，關(guān)鍵是確定滿足條件的區(qū)域，利用面積比值求解，屬于中檔題．