Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{ax+b}$（a，b是常數(shù)且a≠0），滿足f（1）=$\frac{1}{2}$，且方程f（x）=x有唯一實數(shù)解，求函數(shù)f（x）的解析式和f[f（-3）]的值．

Answer 1

分析 由f（1）=$\frac{1}{2}$，得2a+b=2，由f（x）=x有一個解，得方程ax2+（b-1）x=0（x≠-$\frac{a}$）有唯一解，由此能求出函數(shù)f（x）的解析式和f[f（-3）]的值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{x}{ax+b}$（a，b是常數(shù)且a≠0），
滿足f（1）=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{2}{2a+b}$=1，
化簡得2a+b=2，
又∵f（x）=x有一個解，
∴$\frac{x}{ax+b}$=x有一個解，即方程ax2+（b-1）x=0（x≠-$\frac{a}$）有唯一解
（b-1）²=0，解得：a=$\frac{1}{2}$，b=1，
當x=-$\frac{a}$時，代入上面方程解得a=1，b=0
此時f（x）=x有唯一解，
∴所求為f（x）=$\frac{2x}{x+2}$或f（x）=1（x≠0）．
f（-3）=$\frac{2×（-3）}{-3+2}$=6，
f[f（-3）]=f（6）=$\frac{2×6}{6+2}$=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查函數(shù)的解析式和函數(shù)值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質的合理運用．