Question

12．已知O為坐標原點，A（0，1），B（-3，4），C在角∠AOB的平分線上，|$\overrightarrow{OC}$|=2，C坐標為（　�。�

• A． （$\frac{\sqrt{10}}{5}$，$\frac{3\sqrt{10}}{5}$）
• B． （-$\frac{\sqrt{10}}{5}$，-$\frac{3\sqrt{10}}{5}$）
• C． （$\frac{\sqrt{10}}{5}$，-$\frac{3\sqrt{10}}{5}$）
• D． （-$\frac{\sqrt{10}}{5}$，$\frac{3\sqrt{10}}{5}$）

Answer 1

分析 根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理，求出OC所在直線分有線向量AB所成的比．然后代入定比分點公式求出OC與AB的交點坐標，再根據(jù)向量的模求出答案．

解答 解：∵A（0，1），B（-3，4），|$\overrightarrow{OA}$|=1，|$\overrightarrow{OB}$|=5，設OC與AB交于D（x，y）點，
則有AD：BD=1：5，
即D分有向線段AB所成的比為$\frac{1}{5}$，故有x=$\frac{0+\frac{1}{5}×（-3）}{1+\frac{1}{5}}$=-$\frac{1}{2}$，y=$\frac{1+\frac{1}{5}×4}{1+\frac{1}{5}}$=$\frac{3}{2}$，$\overrightarrow{OD}$
則$\overrightarrow{OD}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），|$\overrightarrow{OD}$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
由|$\overrightarrow{OC}$|=2，可得$\overrightarrow{OC}$=2•$\frac{\overrightarrow{OD}}{|\overrightarrow{OD}|}$=（-$\frac{\sqrt{10}}{5}$，$\frac{3\sqrt{10}}{5}$），
故選：D．

點評 本題考查的知識點是線段的定比分點，有向線段A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．及點C分線段AB所成的比，求分點C的坐標，可將A，B兩點的坐標代入定比分點坐標公式：坐標公式$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{1}+λ{•x}_{2}}{1+λ}}\\{y=\frac{{y}_{1}+λ{•y}_{2}}{1+λ}}\end{array}\right.$進行求解，屬于中檔題．