Question

17．在△ABC中，D為BC邊上的點，BD=$\frac{1}{3}$BC，∠ADC=60°，且$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$+2S_△ABC=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{BC}$|．
（1）求角B；
（2）若|AC|=$\sqrt{6}$，求S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）運用向量的數(shù)量積的定義和兩角和的正弦公式，計算即可得到角B；
（2）設(shè)AD=x，BD=$\frac{1}{3}$a，CD=$\frac{2}{3}$a，在△ACD中，由余弦定理，在△ABD中，由正弦定理可得a=3，再由余弦定理可得cosC，進(jìn)而得到sinC，再由面積公式計算即可得到．

解答 解：（1）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．
$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$+2S_△ABC=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{BC}$|，
可得cacosB+acsinB=$\sqrt{2}$ca，
即有sinB+cosB=$\sqrt{2}$，
即$\sqrt{2}$sin（B+45°）=$\sqrt{2}$，
由B為三角形的內(nèi)角，即有B+45°=90°，
解得B=45°；
（2）設(shè)AD=x，BD=$\frac{1}{3}$a，CD=$\frac{2}{3}$a，
在△ACD中，由余弦定理可得，
AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos60°，
即為6=x²+$\frac{4}{9}$a²-$\frac{2}{3}$ax，
在△ABD中，B=45°，∠BAD=15°，
由正弦定理可得，$\frac{x}{sin45°}$=$\frac{\frac{1}{3}a}{sin15°}$，
即有x=$\frac{\sqrt{3}+1}{3}$a，
解得a=3，x=$\sqrt{3}$+1，
在△ACD中，CD=2，AD=$\sqrt{3}+1$，AC=$\sqrt{6}$，
即有cosC=$\frac{6+4-（4+2\sqrt{3}）}{2×2\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．
即有sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
則S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
=$\frac{9+3\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的定義和正弦、余弦定理和面積公式的運用，同時考查兩角和的正弦公式，考查運算能力，屬于中檔題．