Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{4}{3}$x³-2kx²-x+1有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜1＜x₂），若g（x）=$\frac{2x-k}{{x}^{2}+1}$，且x∈[1，x₂]時(shí)，g（x）≥$\frac{k}{2}$恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{3}{4}$，+∞）
• B． [1，+∞）
• C． （$\frac{3}{4}$，1]
• D． {1}

Answer 1

分析 求出f′（x）=4x²-4kx-1，要?jiǎng)t有△=（-4k）²+16＞0，f′（1）=4-4k-1＜0，解得k$＞\frac{3}{4}$，且4${{x}_{2}}^{2}-4k{x}_{2}-1=0$，由g′（1）＞0，g′（x₂）=$\frac{-\frac{1}{4}（4{{x}_{2}}^{2}-4k{x}_{2}）+1}{{{（x}_{2}}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{\frac{3}{4}}{（{{x}_{2}}^{2}+1）^{2}}$＞0，
g（x）=$\frac{2x-k}{{x}^{2}+1}$，x∈[1，x₂]時(shí)單調(diào)遞增，只需$g（1）≥\frac{k}{2}即可$．

解答 解：f′（x）=4x²-4kx-1，要使函數(shù)f（x）=$\frac{4}{3}$x³-2kx²-x+1有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜1＜x₂），
則有△=（-4k）²+16＞0，f′（1）=4-4k-1＜0，解得k$＞\frac{3}{4}$，
且4${{x}_{2}}^{2}-4k{x}_{2}-1=0$
g′（x）=$\frac{-{x}^{2}+kx+1}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，g′（1）＞0，g′（x₂）=$\frac{-\frac{1}{4}（4{{x}_{2}}^{2}-4k{x}_{2}）+1}{{{（x}_{2}}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{\frac{3}{4}}{（{{x}_{2}}^{2}+1）^{2}}$＞0，
∴g（x）=$\frac{2x-k}{{x}^{2}+1}$，x∈[1，x₂]時(shí)單調(diào)遞增，
要g（x）≥$\frac{k}{2}$恒成立，只需$g（1）≥\frac{k}{2}即可$，
∴$\frac{3}{4}＜k≤1$，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值、單調(diào)性，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．