Question

2．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，2S_n=（a_n-1）（a_n+2），n∈N^*，其中S_n為其前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足：b₁=1，b_n+1b_n=a_n，n∈N^*．試證明：$\frac{1}{b_1}$+$\frac{1}{b_2}$+…+$\frac{1}{b_n}$＞2$\sqrt{{b_{n+1}}{b_n}}$-2=2（$\sqrt{n+1}$-1）（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由2S_n=（a_n-1）（a_n+2）可得2S_n-1=（a_n-1-1）（a_n-1+2），n≥2，與原式作差整理即得通項(xiàng)公式
（Ⅱ）由b₁=1，b_n+1b_n=a_n即b_n+1b_n=n+1，所以b₂=2，b_nb_n-1=n（n≥2），得到$\frac{1}{_{n}}$的一個(gè)遞推式，再利用均值不等式證明不等式

解答 解：（Ⅰ）由2S_n=（a_n-1）（a_n+2）可得2S_n-1=（a_n-1-1）（a_n-1+2），n≥2，
兩式相減得$2{a_n}=a_n^2-a_{n-1}^2+{a_n}-{a_{n-1}}⇒（{{a_n}+{a_{n-1}}}）（{{a_n}-{a_{n-1}}-1}）=0$．
因?yàn)閍_n＞0，所以a_n-a_n-1-1=0，即a_n-a_n-1=1（n≥2）．
所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，故a_n=n+1．…（5分）
（Ⅱ）因?yàn)閎₁=1，b_n+1b_n=a_n即b_n+1b_n=n+1，所以b₂=2，b_nb_n-1=n（n≥2），
所以b_n+1b_n-b_nb_n-1=1，$⇒\frac{1}{b_n}={b_{n+1}}-{b_{n-1}}$（n≥2），b_n+1≠b_n
當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{1}{b_1}=1＞2（\sqrt{2}-1）$，所以當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論正確．
當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}=\frac{1}{b_1}+（{{b_3}-{b_1}}）+（{{b_4}-{b_2}}）+…+（{{b_n}-{b_{n-2}}}）+（{{b_{n+1}}-{b_{n-1}}}）$=1+（b_n+1+b_n）-b₁-b₂=b_n+1+b_n-2．
由條件易知b_n＞0，所以b_n+1+b_n＞$2\sqrt{{b_{n+1}}{b_n}}=2\sqrt{n+1}$，
所以$\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}$＞$2\sqrt{{b_{n+1}}{b_n}}-2=2（{\sqrt{n+1}-1}）$．…（13分）

點(diǎn)評 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解和數(shù)列不等式的證明，屬于難度較大的題，在高考中可以作為壓軸題．