某同學(xué)用《幾何畫(huà)板》研究拋物線的性質(zhì):打開(kāi)《幾何畫(huà)板》軟件,繪制某拋物線,在拋物線上任意畫(huà)一個(gè)點(diǎn),度量點(diǎn)的坐標(biāo),如圖.

(Ⅰ)拖動(dòng)點(diǎn),發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí),,試求拋物線的方程;
(Ⅱ)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為,焦點(diǎn)為,構(gòu)造直線交拋物線于不同兩點(diǎn),構(gòu)造直線分別交準(zhǔn)線于、兩點(diǎn),構(gòu)造直線、.經(jīng)觀察得:沿著拋物線,無(wú)論怎樣拖動(dòng)點(diǎn),恒有.請(qǐng)你證明這一結(jié)論.
(Ⅲ)為進(jìn)一步研究該拋物線的性質(zhì),某同學(xué)進(jìn)行了下面的嘗試:在(Ⅱ)中,把“焦點(diǎn)”改變?yōu)槠渌岸c(diǎn)”,其余條件不變,發(fā)現(xiàn)“不再平行”.是否可以適當(dāng)更改(Ⅱ)中的其它條件,使得仍有“”成立?如果可以,請(qǐng)寫(xiě)出相應(yīng)的正確命題;否則,說(shuō)明理由.
(Ⅰ)
(Ⅱ)設(shè)出直線方程,點(diǎn)的坐標(biāo),聯(lián)立方程組證明,所以
(Ⅲ)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為,定點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn),直線分別交直線、兩點(diǎn),則

試題分析:解法一:(Ⅰ)把,代入,得,          2分
所以,                                                                3分
因此,拋物線的方程.                                              4分
(Ⅱ)因?yàn)閽佄锞的焦點(diǎn)為,設(shè),
依題意可設(shè)直線
,則 ①                      6分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005829236779.png" style="vertical-align:middle;" />,,所以,
所以,,                         7分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240058293461498.png" style="vertical-align:middle;" />                                   8分


,  ②
把①代入②,得,                                   10分
,
所以,
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005828285405.png" style="vertical-align:middle;" />、、、四點(diǎn)不共線,所以.                        11分
(Ⅲ)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為,定點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn),直線、分別交直線、兩點(diǎn),則 .                                                             14分
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)因?yàn)閽佄锞的焦點(diǎn)為,設(shè),                5分
依題意,可設(shè)直線
,

所以                                                         7分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005830141751.png" style="vertical-align:middle;" />,,
所以,                                            10分
所以,  
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005828285405.png" style="vertical-align:middle;" />、、、四點(diǎn)不共線,所以.                          11分
(Ⅲ)同解法一.                                                            14分
解法三:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)因?yàn)閽佄锞的焦點(diǎn)為,設(shè),
依題意,設(shè)直線
,則,                         6分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005829236779.png" style="vertical-align:middle;" />,,所以,
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005830562835.png" style="vertical-align:middle;" />,                9分
所以,所以平行于軸;
同理可證平行于軸;
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005828285405.png" style="vertical-align:middle;" />、、四點(diǎn)不共線,所以.                         11分
(Ⅲ)同解法一.                                                           14分
點(diǎn)評(píng):圓錐曲線問(wèn)題在高考中每年必考,且一般出在壓軸題的位置上,難度較低,主要考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想等。
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求橢圓的方程;
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