Question

【題目】如圖，點(diǎn)B是以AC為直徑的圓周上的一點(diǎn)，PA=AB=BC，AC=4，PA⊥平面ABC，點(diǎn)E為PB中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面AEC⊥平面PBC；
（Ⅱ）求直線AE與平面PAC所成角的大小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：∵PA⊥⊙O所在平面，且BC為⊙O的弦， ∴PA⊥BC
∵AB為⊙O的直徑，
∴BC⊥AC．
而PA∩AC=A．
∴BC⊥面PAC，
∵AE平面PAC，∴BC⊥AE，
∵PA=AB，PA⊥平面ABC，點(diǎn)E為PB的中點(diǎn)．
∴AE⊥PB，PB∩BC=B，
∴AE⊥平面PBC．
∵AE平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：作BO⊥平面APC，取PO的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，
則EG∥BO，EG⊥平面PAC，連結(jié)AG，
∴∠EAG就是直線AE與平面PAC所成角，
AE= PB=2，GE= =1，
∴sin∠EAG= = ，
∴直線AE與平面PAC所成角為： ．

【解析】（Ⅰ）證明BC⊥面PAC，推出BC⊥AE，然后證明AE⊥PB，推出AE⊥平面PBC，然后證明平面AEC⊥平面PBC．（Ⅱ）作BO⊥平面APC，取PO的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，連結(jié)AG，說明∠EAG就是直線AE與平面PAC所成角，通過解三角形求解即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角，需要了解一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則才能得出正確答案．