Question

【題目】如圖，邊長(zhǎng)為3的正方形所在平面與等腰直角三角形所在平面互相垂直， ，且， .

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析 （Ⅱ）所求二面角的余弦值為

【解析】試題分析：（Ⅰ）考查的是直線與平面平行的判定定理.添加輔助線證明過程中可知平面， 平面，所以只需重點(diǎn)是證明 （Ⅱ）考查的是利用平面法向量求二面角的方法.觀察圖象結(jié)合已知可知剛好可建立一個(gè)坐標(biāo)系，從而可得 ， ， ， ，進(jìn)而可得的法向量 和的法向量 ，最后利用公式求出二面角的余弦值.

試題解析：

（Ⅰ）過作交于，連接因?yàn)?/span>， ，所以 又，所以故，

所以四邊形為平行四邊形，故，

而平面， 平面，所以平面；

（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在方向?yàn)?/span>軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，

則， ， ，

平面的法向量為，

設(shè)平面的法向量為，則，即，

不妨設(shè)，則,

所求二面角的余弦值為.

【點(diǎn)晴】

在利用線面平行的的判定定理時(shí)不僅要關(guān)注兩直線直線平行而且另外兩個(gè)條件（一直線在平面內(nèi)，一直線在平面外）也不容忽視，大多數(shù)情況下這兩個(gè)條件在作圖（添加輔助線）時(shí)就可以清楚表達(dá)出，一般不需要單獨(dú)證明，但也不能想當(dāng)然，要仔細(xì)觀察，再得出結(jié)論.