Question

4．給定兩個單位平面向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$，其夾角為120°，以O(shè)為圓心的圓弧AB上任一點(diǎn)，且$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$（x，y∈R），則滿足x+y≥$\sqrt{2}$的概率為（　�。�

• A． $2-\sqrt{2}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，建立坐標(biāo)系，設(shè)出A，B點(diǎn)的坐標(biāo)，并設(shè)∠AOC=α，則由$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$得x，y的值，從而求得x+y，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求滿足條件的角α的范圍，可求x+y≥$\sqrt{2}$的概率．

解答 解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（1，0），B（cos120°，sin120°），
即B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
設(shè)∠AOC=α，則$\overrightarrow{OC}$=（cosα，sinα）
∵$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$=（x，0）+（-$\frac{1}{2}$y，$\frac{\sqrt{3}}{2}$y）=（cosα，sinα）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{1}{2}y=cosα}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}y=sinα}\end{array}\right.$
∴x=$\frac{sinα}{\sqrt{3}}+cosα$，y=$\frac{2sinα}{\sqrt{3}}$
∴x+y=$\sqrt{3}$sinα+cosα=2sin（α+30°）．
∵0°≤α≤120°．
∴30°≤α+30°≤150°．
當(dāng)x+y≥$\sqrt{2}$時，可得sin（α+30°）≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴45°≤α+30°≤135°即15°≤α≤105°，
∴滿足x+y≥$\sqrt{2}$的概率P$\frac{{{{120}°}-2×{{15}°}}}{{{{120}°}}}=\frac{3}{4}$
故選：B．

點(diǎn)評 本題是向量的坐標(biāo)表示的應(yīng)用，考查概率知識，結(jié)合圖形，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，容易求出結(jié)果．