Question

11．已知函數(shù)f（x）=2x³+3ax²-12bx+3在x=-2和x=1處有極值．
（1）求出f（x）的解析式；
（2）指出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)極值的定義得出關(guān)于a，b的不等式組，解方程組得出a，b，可得f（x）的解析式；
（2）由f′（x）＞0得單調(diào)遞增區(qū)間，f′（x）＜0得單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）分別求得函數(shù)在[-3，2]的極值和端點(diǎn)值，得出最大值及最小值．

解答 解：（1）f'（x）=6x²+6ax-12b，
又因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）在x=-2和x=1處有極值，
所以 $\left\{\begin{array}{l}{f′（-2）=0}\\{f′（1）=0}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
所以f（x）=2x³+3x²-12x+3；
（2）f'（x）=6（x+2）（x-1）
由f'（x）＞0，得x＜-2或x＞1，f'（x）＜0，得-2＜x＜1
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-2），（1，+∞），遞減區(qū)間為（-2，1）；
（3）令f'（x）=0，得x=-2或x=1，f（-2）=23，f（1）=-4，f（-3）=12，f（2）=7，
所以f（x）的最大值為f（-2）=23，最小值為f（1）=-4．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性，考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識分析解決問題的能力，屬中檔題．