Question

3．在平行四邊形ABCD中，A（1，1）、B（7，3）、D（4，6），點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)線段CM與BD交于點(diǎn)P．
（1）求直線CM的方程；
（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$，可得$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}$．利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：點(diǎn)M坐標(biāo)（4，2）．利用斜率計(jì)算公式與中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出．
（2）利用斜率計(jì)算公式可得k_BD=-1，利用點(diǎn)斜式可得BD直線方程，聯(lián)立解出即可得出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}$=（7，3）+（4，6）-（1，1）=（10，8）．
∴C點(diǎn)坐標(biāo)C（10，8）．
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：點(diǎn)M坐標(biāo)（$\frac{1+7}{2}$，$\frac{1+3}{2}$），即（4，2）．
k_CM=$\frac{8-2}{10-4}$=1，
得出直線CM方程y-2=x-4，可得：x-y-2=0．
（2）k_BD=$\frac{6-3}{4-7}$=-1，
∴BD直線方程y-6=-（x-4），x+y-10=0，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{x+y-10=0}\end{array}\right.$，
解得x=6，y=4，
所以點(diǎn)P坐標(biāo)為（6，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、向量的坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、點(diǎn)斜式、直線的交點(diǎn)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．