Question

1．在銳角三角形ABC中，已知內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且tanA-tanB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（1+tanA•tanB）．若向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，cosA），$\overrightarrow{n}$=（cosB，sinB），求|3$\overrightarrow{m}$-2$\overrightarrow{n}$|的取值范圍．

Answer 1

分析 由已知利用兩角差的正切函數(shù)公式可求tan（A-B）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，結(jié)合范圍可求A-B=$\frac{π}{6}$，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求|3$\overrightarrow{m}$-2$\overrightarrow{n}$|²=13-12sin（2 B+$\frac{π}{6}$），可求范圍$\frac{π}{2}＜2B+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求sin（2B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1），即可得解．

解答 解：由已知，可得：$\frac{tanA-tanB}{1+tanAtanB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴tan（A-B）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵0$＜A＜\frac{π}{2}$，0＜B＜$\frac{π}{2}$，
∴-$\frac{π}{2}$＜A-B＜$\frac{π}{2}$，可得：A-B=$\frac{π}{6}$．…（3分）
又∵|3$\overrightarrow{m}$-2$\overrightarrow{n}$|²=9 m²+4n²-12 m•n=13-12（sinAcos B+cosAsin B）=13-12sin（A+B）
=13-12sin（2 B+$\frac{π}{6}$）．…（6分）
∵△ABC為銳角三角形，A-B=$\frac{π}{6}$，
∴C=π-A-B＜$\frac{π}{2}$，A=$\frac{π}{6}$+B＜$\frac{π}{2}$．
∴$\frac{π}{6}＜B＜\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}＜2B+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
∴sin（2B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1），…（9分）
∴|3$\overrightarrow{m}$-2$\overrightarrow{n}$|²=∈（1，7），
∴|3$\overrightarrow{m}$-2$\overrightarrow{n}$|的取值范圍是（1，$\sqrt{7}$）．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩角差的正切函數(shù)公式，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．