Question

4．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=4，a₃=9，a_n=a_n-1+a_n-2-a_n-3（n=4，5，…）則S_2n=8n²-3n．（n∈N⁺）

Answer 1

分析 由已知a₁=1，a₂=4，a₃=9，a_n=a_n-1+a_n-2-a_n-3，得到a_n-a_n-1=a_n-2-a_n-3，分別分n為奇數(shù)和偶數(shù)得到通項(xiàng)公式，進(jìn)一步等差數(shù)列求和即可．

解答 解：由已知a₁=1，a₂=4，a₃=9，a_n=a_n-1+a_n-2-a_n-3，得到a_n-a_n-1=a_n-2-a_n-3，
所以n為偶數(shù)時(shí)a_n-a_n-1=a_n-2-a_n-3=…=a₂-a₁=3，a_n=a_n-a_n-1+a_n-1-a_n-2+…+a₂-a₁+a₁=$3×\frac{n}{2}+5×（\frac{n}{2}-1）$+1=4n-4，
n為奇數(shù)時(shí)a_n-a_n-1=a_n-2-a_n-3=…=a₃-a₂=5，a_n=a_n-a_n-1+a_n-1-a_n-2+…+a₂-a₁+a₁=$3×\frac{n-1}{2}+5×\frac{n-1}{2}$+1=4n-3，
所以S_2n=$4n+\frac{n（n-1）×8}{2}+n×1+\frac{n（n-1）×8}{2}$=8n²-3n
故答案為：8n²-3n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列求和，關(guān)鍵是從遞推關(guān)系發(fā)現(xiàn)n為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)的通項(xiàng)公式，從而轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和．