Question

16．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=5，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3）．
（1）求證：數(shù)列{a_n+a_n-1}為等比數(shù)列
（2）求數(shù)列{n•a_n}的前2n項和T_2n．

Answer 1

分析 （1）由a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3），變形為a_n+a_n-1=3（a_n-1+a_n-2），即可證明．
（2）由（1）可得：a_n+a_n-1=7×3^n-2，同理可得：a_n-3a_n-1=（-1）^n-1×13，聯(lián)立解得a_n=$\frac{1}{4}$[3^n-1×7+（-1）^n-1×13]．利用分組求和、“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3），∴a_n+a_n-1=3（a_n-1+a_n-2），
∵a₁+a₂=7，∴數(shù)列{a_n+a_n-1}為等比數(shù)列，首項為7，公比為3．
（2）解：由（1）可得：a_n+a_n-1=7×3^n-2，
同理可得：a_n-3a_n-1=（-1）^n-1×13．
聯(lián)立解得a_n=$\frac{1}{4}$[3^n-1×7+（-1）^n-1×13]．
∴T_2n=a₁+2a₂+…+（2n-1）a_2n-1+2na_2n=$\frac{7}{4}$[1+2×3+…+（2n-1）×3^2n-2+2n×3^2n-1]+$\frac{13}{4}$[1+2×（-1）¹+…+（2n-1）×（-1）^2n-2+2n×（-1）^2n-1]，
利用“錯位相減法”可得：T_2n=$\frac{7+（28n-7）•{9}^{n}}{16}$-$\frac{13n}{4}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其求和公式、“錯位相減法”、“分組求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．