Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-1（x＜-2）}\\{x+3（-2≤x≤\frac{1}{2}）}\\{5x+1（x＞\frac{1}{2}）}\end{array}\right.$
（1）畫出函數(shù)的圖象并由圖象觀察函數(shù)f（x）的最小值；
（2）已知m∈R，命題p：關于x的不等式f（x）≥m²+2m-2對任意x∈R恒成立；q：函數(shù)y=（m²-1）^x是增函數(shù)．若“p或q”為真，“p且q”為假，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）作出函數(shù)f（x）的圖象，借助于單調(diào)性以及圖象即可求最小值；
（2）運用（1）中求出的f（x）的最小值代入不等式f（x）≥m²+2m-2，求出對任意x∈R恒成立的m的范圍，根據(jù)復合命題“p或q”為真，“p且q”為假時，建立不等式關系即可的實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）根據(jù)分段函數(shù)的表達式作出對應的圖象如圖：
當x＜-2時，f（x）∈（1，+∞）；
當$-2≤x≤\frac{1}{2}$時，f（x）$∈[1，\frac{7}{2}]$；
當x＞$\frac{1}{2}$時，f（x）∈$（\frac{7}{2}，+∞）$
所以函數(shù)的值域為[1，+∞），最小值為1．
（2）由（1）得若不等式f（x）≥m²+2m-2對任意x∈R恒成立，
則m²+2m-2≤1，
即m²+2m-3≤0，
解得-3≤m≤1，
所以命題p：-3≤m≤1．
對于命題q，函數(shù)y=（m²-1）^x是增函數(shù)，
則m²-1＞1，即m²＞2，
所以命題q：$m＜-\sqrt{2}$或$m＞\sqrt{2}$
由“p或q”為真，“p且q”為假，則p真q假或p假q真兩種情形：
若p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}{-3≤m≤1}\\{-\sqrt{2}≤m≤\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
解得：$-\sqrt{2}≤m≤1$，
若p假q真，則$\left\{\begin{array}{l}{m＜-3或m＞1}\\{m＜-\sqrt{2}或m＞\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
解得：m＜-3，或m＞$\sqrt{2}$．
綜上實數(shù)m的取值范圍是$（-∞，-3）∪[-\sqrt{2}，1]∪（\sqrt{2}，+∞）$．

點評 本題考查了分段函數(shù)的應用及復合命題真假的判斷，分段函數(shù)的值域分段求，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關鍵．