Question

10．正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為a，連接A'C'，A'D，A'B，BD，BC'，C'D，得到一個三棱錐A'-BC'D．求：
（1）求異面直線A'D與C'D′所成的角；
（2）三棱錐A'-BC'D的體積．

Answer 1

分析 （1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線A'D與C'D′所成的角．
（2）求出平面BC'D的法向量，從而求出點A到平面BC'D的距離，由此能求出三棱錐A'-BC'D的體積．

解答 解：（1）∵正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為a，
∴以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
A′（a，0，a），D（0，0，0），C′（0，a，a），B（a，a，0），D′（0，0，a），
$\overrightarrow{{A}^{'}D}$=（-a，0，-a），$\overrightarrow{{C}^{'}{D}^{'}}$=（0，-a，0），
設異面直線A'D與C'D′所成的角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}^{'}D}•\overrightarrow{{C}^{'}{D}^{'}}|}{|\overrightarrow{{A}^{'}D}|•|\overrightarrow{{C}^{'}{D}^{'}}|}$=0，
∴θ=90°，
∴異面直線A'D與C'D′所成的角為90°．
（2）$\overrightarrow{DB}$=（a，a，0），$\overrightarrow{D{C}^{'}}$=（0，a，a），$\overrightarrow{D{A}^{'}}$=（a，0，a），
設平面BC'D的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=ax+ay=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{C}^{'}}=ay+az=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
點A到平面BC'D的距離d=$\frac{|\overrightarrow{D{A}^{'}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2a}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}a}{3}$，
${S}_{△B{C}^{'}D}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}a×\sqrt{2}a×sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$，
∴三棱錐A'-BC'D的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{△BC{D}^{'}}$×d=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}a$=$\frac{1}{3}$a³．

點評 本題考查異面直線所成角的求法，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．