Question

15．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁、F₂，短軸的一個端點為P，直線l：x+2y=0與橢圓E的一個交點為A，若|AF₁|+|AF₂|=10，點P到直線l的距離不大于$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，則橢圓E的離心率的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{2\sqrt{6}}{5}$]
• B． [$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）
• C． [$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，1）
• D． （0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]

Answer 1

分析 由題意可知：2a=10，a=5，d=$\frac{丨0+2b丨}{\sqrt{1+{2}^{2}}}$=$\frac{2b}{\sqrt{5}}$≤$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，則b≤1，由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$≥$\sqrt{1-\frac{1}{25}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，即可求得橢圓E的離心率的取值范圍．

解答 解：由題意可知：|AF₁|+|AF₂|=10，即2a=10，a=5，
P（0，b）到直線l：x+2y=0距離d=$\frac{丨0+2b丨}{\sqrt{1+{2}^{2}}}$=$\frac{2b}{\sqrt{5}}$≤$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，則b≤1，
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$≥$\sqrt{1-\frac{1}{25}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，
由0＜e＜1，
∴e的取值范圍[$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，1）．
故選C．

點評 本題考查橢圓的定義及簡單幾何性質(zhì)，考查橢圓離心率的取值范圍，屬于中檔題．