Question

16．已知極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy有相同的長度單位，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，已知曲線C₁的極坐標(biāo)方程ρ=4cosθ，曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=m+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.（t$為參數(shù)，0≤α＜π）射線$θ=φ+\frac{π}{4}，θ=φ-\frac{π}{4}$與曲線C₁交于極點(diǎn)O為的三點(diǎn)A、B、C
（1）若|OB|+|OC|=λ|OA|，求λ的值；
（2）當(dāng)$φ=\frac{π}{12}$時，B、C兩點(diǎn)在曲線C₂上，求m與α的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意表示出|OA|與|OB|，以及|OC|，代入已知等式求出λ的值即可；
（2）根據(jù)φ的度數(shù)，表示出B與C的極坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)，根據(jù)C是經(jīng)過點(diǎn)（m，0）且傾斜角為α的直線，確定出經(jīng)過B，C的直線方程，求出m與α的值．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+$\frac{π}{4}$），|OC|=4cos（φ-$\frac{π}{4}$），
則|OB|+|OC|=4cos（φ+$\frac{π}{4}$）+4cos（φ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$（cosφ-sinφ）+2$\sqrt{2}$（cosφ+sinφ）=4$\sqrt{2}$cosφ=$\sqrt{2}$|OA|，
∴λ=$\sqrt{2}$；
（2）當(dāng)φ=$\frac{π}{12}$時，B，C兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為（2，$\frac{π}{3}$），（2$\sqrt{3}$，-$\frac{π}{6}$）化為直角坐標(biāo)為B（1，$\sqrt{3}$），C（3，-$\sqrt{3}$），
∵C是經(jīng)過點(diǎn)（m，0）且傾斜角為α的直線，且經(jīng)過B，C的直線方程為y=-$\sqrt{3}$（x-2），
∴m=2，α=$\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評 此題考查了參數(shù)方程化為普通方程，以及簡單曲線的極坐標(biāo)方程，熟練掌握各坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化是解本題的關(guān)鍵．