Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．
（1）求向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角（用弧度表示）；
（2）設(shè)$\overrightarrow{c}$=（cosθ，sinθ），若（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{c}$，求sinθ和cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數(shù)量積公式解答；
（2）由向量垂直得到數(shù)量積為0，展開整理得到所求．

解答 解：（1）由已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．
所以$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\frac{1}{2}×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）+\frac{\sqrt{3}}{2}×（-\frac{1}{2}）=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角的余弦值為：$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為$\frac{5π}{6}$；
（2）設(shè)$\overrightarrow{c}$=（cosθ，sinθ），因為（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{c}$，所以（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{c}$=0，
所以=（$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$）（cosθ，sinθ）=0．
所以（$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）cosθ+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$）sinθ=0．
整理得cosθ-sinθ=0，所以sinθ=cosθ=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了利用向量的數(shù)量積公式求向量的夾角以及向量垂直，數(shù)量積為0．