Question

8．已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）+$\frac{1}{2}$x²-x．
（1）證明：x＞0，f（x）＞0．
（2）證明：ln（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）+ln（1+$\frac{2}{{n}^{2}}$）+…+ln（1+$\frac{k}{{n}^{2}}$）+…+ln（1+$\frac{n}{{n}^{2}}$）＞$\frac{1}{2}$（n∈N^*）；
（3）（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）（1+$\frac{2}{{n}^{2}}$）…（1+$\frac{k}{{n}^{2}}$）…（1+$\frac{n}{{n}^{2}}$）＞$\sqrt{e}$．

Answer 1

分析 （1）只需求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，然后求出該函數(shù)的最小值，說明最小值大于零即可；
（2）利用第（1）問的結(jié)果得到ln（x+1）$＞x-\frac{1}{2}{x}^{2}$，然后將不等式中左邊的每一個(gè)加數(shù)縮小，轉(zhuǎn)化為數(shù)列求和問題，化簡后即可證得結(jié)論；
（3）利用第二問結(jié)論，容易證得結(jié)論．

解答 解：（1）由已知得$f′（x）=\frac{1}{x+1}+x-1=\frac{{x}^{2}}{x+1}$，
因?yàn)閤＞0，所以f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上遞增，且當(dāng)x→0時(shí)，f（x）→0．
所以x＞0，f（x）＞0．
（2）由（1）可知，當(dāng)x＞0時(shí)，ln（1+x）$＞x-\frac{1}{2}{x}^{2}$．
所以ln（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）+ln（1+$\frac{2}{{n}^{2}}$）+…+ln（1+$\frac{k}{{n}^{2}}$）+…+ln（1+$\frac{n}{{n}^{2}}$）＞$\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{2}{{n}^{2}}+…+\frac{n}{{n}^{2}}-\frac{1}{2}[\frac{{1}^{2}}{{n}^{4}}+\frac{{2}^{2}}{{n}^{4}}+…+$$\frac{{n}^{2}}{{n}^{4}}]$
=$\frac{\frac{n（n+1）}{2}}{{n}^{2}}-\frac{1}{2}[\frac{\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}}{{n}^{4}}]$=$\frac{{n}^{2}+n}{{2n}^{2}}-\frac{1}{2}×\frac{\frac{2{n}^{3}+3{n}^{2}+n}{6}}{{n}^{4}}$=$\frac{1}{2}[1+\frac{{n}^{3}-\frac{2{n}^{3}+3{n}^{2}+n}{6}}{{n}^{4}}]$
=$\frac{1}{2}[1+\frac{\frac{4{n}^{3}-3{n}^{2}-n}{6}}{{n}^{4}}]=\frac{1}{2}（1+\frac{n（n-1）（4n+1）}{6{n}^{4}}）$．顯然n（n-1）（4n+1）≥0．
故$\frac{1}{2}（1+\frac{n（n-1）（2n+1）}{6{n}^{4}}）≥\frac{1}{2}$．
故ln（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）+ln（1+$\frac{2}{{n}^{2}}$）+…+ln（1+$\frac{k}{{n}^{2}}$）+…+ln（1+$\frac{n}{{n}^{2}}$）＞$\frac{1}{2}$對(duì)任意的n∈N^*成立．
（3）由（2）知ln（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）+ln（1+$\frac{2}{{n}^{2}}$）+…+ln（1+$\frac{k}{{n}^{2}}$）+…+ln（1+$\frac{n}{{n}^{2}}$）＞$\frac{1}{2}$成立．
故ln[$（1+\frac{1}{{n}^{2}}）（1+\frac{2}{{n}^{2}}）×…×（1+\frac{n}{{n}^{2}}）$]$＞ln\sqrt{e}$．
由函數(shù)y=lnx在定義域內(nèi)是增函數(shù)得：（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）（1+$\frac{2}{{n}^{2}}$）…（1+$\frac{k}{{n}^{2}}$）…（1+$\frac{n}{{n}^{2}}$）＞$\sqrt{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用，以及利用放縮法結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)證明不等式問題的思路，屬于有些技巧的類型，要仔細(xì)體會(huì)．