Question

14．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點
（1）證明：PB∥平面AEC；
（2）已知AP=1，AD=$\sqrt{3}$，設EC與平面ABCD所成的角為α，且tanα=$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，求二面角D-AE-C的大小．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明PB∥平面AEC；
（2）方法1：根據(jù)線面所成的角的定義結合二面角的求解方法，進行求解．
方法2：利用向量法或定義法進行求解即可．

解答 證明：（1）連結BD交AC于點O，連接EO．
∵ABCD為矩形，∴O為BD的中點-------------------（1分）
又E為PD的中點，∴EO∥PB．----------------------（2分）
∵EO?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．----------------------------------（3分）
（2）過點E作EF∥PA交AD于F，連結FC，
∵PA⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD，且$EF=\frac{1}{2}PA=\frac{1}{2}$
∴∠ECF=α-------------------------------------（4分）
由$tanα=\frac{EF}{FC}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$得$FC=\sqrt{3}$---------------------（5分）
則$CD=\sqrt{F{C^2}-F{D^2}}=\frac{3}{2}$，------------------------（6分）
解法一：
過D作DQ⊥AE交AE于點Q，連結CQ，
∵PA?面PAD，∴面PAD⊥面ABCD，----------（7分）
又面PAD∩面ABCD=AD，CD⊥AD，
∴CD⊥面PAD--------------------------------（8分）
∵AQ?面APD∴CD⊥AQ，且DQ∩AQ=Q，
∴AQ⊥面CDQ，
故AQ⊥CQ---------------------------------------------------（9分）
∴∠DQC是二面角D-AE-C的平面角．-----------------------------------------（10分）
∵AP=1，$AD=\sqrt{3}$，
∴$∠PDA=\frac{π}{6}$
又∵E為PD的中點，
∴$∠EAD=∠EDA=\frac{π}{6}$--------------------------------------（11分）
在Rt△AQD中，$DQ=\frac{1}{2}AD=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
∴$tan∠CQD=\frac{CD}{DQ}=\frac{{\frac{3}{2}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=\sqrt{3}$，-----------------------------------------------（13分）
∵0＜∠CQD＜π，
∴$∠CQD=\frac{π}{3}$，即二面角D-AE-C的大小為$\frac{π}{3}$．---------------------------------（14分）
解法二：
以A為原點，AB、AD、AP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，-（7分）
則A（0，0，0），$B（\frac{3}{2}，0，0）$，$D（0，\sqrt{3}，0）$，$C（\frac{3}{2}，\sqrt{3}，0）$，P（0，0，1），-----------（8分）
故$E（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{AE}=（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}），\overrightarrow{AC}=（\frac{3}{2}，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{AB}=（\frac{3}{2}，0，0）$，-----------（9分）
由條件可知，$\overrightarrow{AB}=（\frac{3}{2}，0，0）$為平面ADE的一個法向量，------（10分）
設平面AEC的一個法向量為$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，
則由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{\sqrt{3}}}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\\{\frac{3}{2}x+\sqrt{3}y=0}\end{array}}\right.$，
取x=2，得$y=-\sqrt{3}，z=3$，
∴$\overrightarrow n=（2，-\sqrt{3}，3）$---------------------------------------------------------------（12分）
設二面角D-AE-C的大小為θ，則$cosθ=|{cos\left?{\overrightarrow{AB}，\overrightarrow n}\right＞}|$=$|{\frac{{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow n}}{{|\overrightarrow{AB}|•\overrightarrow{|n|}}}}|=\frac{1}{2}$，
∴$θ=\frac{π}{3}$，
即二面角D-AE-C的大小為$\frac{π}{3}$．-------------------------------------（14分）

點評 本題主要考查空間直線和平面平行的判定以及空間二面角的求解，利用向量法或定義法是解決空間角的常用方法，考查學生的推理和計算能力．