Question

19．已知函數(shù)f（x）=lg$\frac{1+{2}^{x}+a•{3}^{x}}{3}$．
（1）若f（x）的定義域為（-∞，1），求a的值；
（2）若f（x）在x∈（-∞，1）內(nèi)恒有意義，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可化為a＞-[（$\frac{2}{3}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x]在（-∞，1）上恒成立，又由f（x）的定義域為（-∞，1）知a=-[（$\frac{2}{3}$）¹+（$\frac{1}{3}$）¹]=-1；
（2）f（x）在x∈（-∞，1）內(nèi)恒有意義可化為$\frac{1+{2}^{x}+a•{3}^{x}}{3}$＞0在（-∞，1）上恒成立；即a＞-[（$\frac{2}{3}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x]在（-∞，1）上恒成立；從而解得．

解答 解：（1）∵f（x）的定義域為（-∞，1），
∴$\frac{1+{2}^{x}+a•{3}^{x}}{3}$＞0在（-∞，1）上恒成立；
∴a＞-[（$\frac{2}{3}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x]在（-∞，1）上恒成立；
又∵y=-[（$\frac{2}{3}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x]在（-∞，1）上是增函數(shù)，
故a=-[（$\frac{2}{3}$）¹+（$\frac{1}{3}$）¹]=-1；
（2）∵f（x）在x∈（-∞，1）內(nèi)恒有意義，
∴$\frac{1+{2}^{x}+a•{3}^{x}}{3}$＞0在（-∞，1）上恒成立；
∴a＞-[（$\frac{2}{3}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x]在（-∞，1）上恒成立；
又∵y=-[（$\frac{2}{3}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x]在（-∞，1）上是增函數(shù)，
故a≥-[（$\frac{2}{3}$）¹+（$\frac{1}{3}$）¹]=-1；
故a的取值范圍為[-1，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應用，屬于基礎題．