Question

4．如圖，已知點M，N是單位圓的半圓弧$\widehat{AB}$上異于端點的不同的任意兩點，且直線MN與x軸相交于點R，若$\overrightarrow{OA}=x\overrightarrow{OM}+y\overrightarrow{ON}$（x，y∈R，O為坐標(biāo)原點），則實數(shù)x+y的取值范圍是（-∞，1）．

Answer 1

分析 設(shè)M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），由$\overrightarrow{OA}$=x$\overrightarrow{OM}$+y$\overrightarrow{ON}$，列出方程組，
求出x、y的值，再利用三角函數(shù)求出x+y的取值范圍．

解答 解：設(shè)M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），其中α∈（0，π），β∈（0，π），且sinα≠sinβ，α+β≠π；
則$\overrightarrow{OA}$=（-1，0），
∴（-1，0）=（xcosα+ycosβ，xsinα+ysinβ）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{xcosα+ycosβ=-1}\\{xsinα+ysinβ=0}\end{array}\right.$，
解得：x=-$\frac{sinβ}{sin（α-β）}$，y=$\frac{sinα}{sin（α-β）}$，
∴x+y=-$\frac{sinβ}{sin（α-β）}$+$\frac{sinα}{sin（α-β）}$
=$\frac{sinα-sinβ}{sin（α-β）}$
=$\frac{2cos\frac{α+β}{2}sin\frac{α-β}{2}}{2sin\frac{α-β}{2}cos\frac{α-β}{2}}$
=$\frac{cos\frac{α}{2}cos\frac{β}{2}-sin\frac{α}{2}sin\frac{β}{2}}{cos\frac{α}{2}cos\frac{β}{2}+sin\frac{α}{2}sin\frac{β}{2}}$
=$\frac{1-tan\frac{α}{2}tan\frac{β}{2}}{1+tan\frac{α}{2}tan\frac{β}{2}}$
=-1+$\frac{2}{1+tan\frac{α}{2}tan\frac{β}{2}}$；
∵tan$\frac{α}{2}$tan$\frac{β}{2}$＞0，∴1+tan$\frac{α}{2}$tan$\frac{β}{2}$＞1，
∴$\frac{2}{1+tan\frac{α}{2}tan\frac{β}{2}}$＜2，
∴-1+$\frac{2}{1+tan\frac{α}{2}tan\frac{β}{2}}$＜1；
∴x+y＜1，即x+y的取值范圍是（-∞，1）．
故答案為：（-∞，1）．

點評 本題考查了平面向量的坐標(biāo)運算問題，也考查了三角函數(shù)的恒等變換問題，是綜合性題目．