Question

19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)P（a，b）在直線x+2y-1=0上，則$\frac{4}{a+b}$+$\frac{1}$的最小值是9．

Answer 1

分析 先將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入直線方程中，建立a與b的關(guān)系，再用1的代換，展開后利用基本不等式可達(dá)到目的．

解答 解：將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入直線方程中，得a+2b-1=0，即（a+b）+b=1．
∵P為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，∴a＞0，b＞0，∴a+b＞0，
∴$\frac{4}{a+b}$+$\frac{1}$=（$\frac{4}{a+b}$+$\frac{1}$）（a+b+b）=5+$\frac{4b}{a+b}$+$\frac{a+b}$≥5+2$\sqrt{4}$=9，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4b}{a+b}$=$\frac{a+b}$時，取等號，
∴$\frac{4}{a+b}$+$\frac{1}$的最小值是9．
故答案為：9．

點(diǎn)評 本題考查了基本不等式的運(yùn)用及常見的變形技巧，其中“1”的替換起了關(guān)鍵作用．利用基本不等式求最值時，應(yīng)注意“一正，二定，三相等”．