Question

3．給定正整數(shù)n（n≥3），集合U_n={1，2，…，n}．若存在集合A，B，C，同時滿足下列條件：
①U_n=A∪B∪C，且A∩B=B∩C=A∩C=∅；
②集合A 中的元素都為奇數(shù)，集合B 中的元素都為偶數(shù)，所有能被3 整除的數(shù)都在集合C 中（集合C 中還可以包含其它數(shù)）；
③集合A，B，C 中各元素之和分別記為S_A，S_B，S_C，有S_A=S_B=S_C；則稱集合 U_n為可分集合．
（Ⅰ）已知U₈為可分集合，寫出相應(yīng)的一組滿足條件的集合A，B，C；
（Ⅱ）證明：若n 是3 的倍數(shù)，則U_n不是可分集合；
（Ⅲ）若U_n為可分集合且n 為奇數(shù)，求n的最小值．

Answer 1

分析 （I）取A={5，7}，B={4，8}，C={1，2，3，6}，即可滿足條件．
（II）假設(shè)存在n是3的倍數(shù)且U_n是可分集合．設(shè)n=3k，則依照題意{3，6，…，3k}⊆C，可得S_C≥3+6+…+3k，而這n個數(shù)的和為$\frac{n（n+1）}{2}$，即可得出矛盾．
（Ⅲ）n=35．由于所有元素和為$\frac{n（n+1）}{2}$，又S_B中元素是偶數(shù)，所以$\frac{n（n+1）}{2}$=3S_B=6m（m為正整數(shù)），可得以n（n+1）=12m，由（Ⅱ）知道，n不是3的倍數(shù)，所以一定有n+1是3的倍數(shù)．當(dāng)n為奇數(shù)時，n+1為偶數(shù)，而n（1+n）=12m，一定有n+1既是3的倍數(shù)，又是4的倍數(shù)，所以n+1=12k，
所以n=12k-1，k∈N^*．可得：k（12k-1）=m．定義集合D={1，5，7，11，…}，即集合D由集合U_n中所有不是3的倍數(shù)的奇數(shù)組成，定義集合E={2，4，8，10，…}，即集合E由集合U_n中所有不是3的倍數(shù)的偶數(shù)組成，可得k≥3．即可得出．

解答 解：（I）依照題意，可以取A={5，7}，B={4，8}，C={1，2，3，6}．
（II）假設(shè)存在n是3的倍數(shù)且U_n是可分集合．
設(shè)n=3k，則依照題意{3，6，…，3k}⊆C，
故S_C≥3+6+…+3k=$\frac{3{k}^{2}+3k}{2}$，
而這n個數(shù)的和為$\frac{n（n+1）}{2}$，故S_C=$\frac{1}{3}×\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{3{k}^{2}+k}{2}$$＜\frac{3{k}^{2}+3k}{2}$，矛盾，
所以n是3的倍數(shù)時，U_n一定不是可分集合．
（Ⅲ）n=35．
因為所有元素和為$\frac{n（n+1）}{2}$，又S_B中元素是偶數(shù)，所以$\frac{n（n+1）}{2}$=3S_B=6m（m為正整數(shù)），
所以n（n+1）=12m，因為n，n+1為連續(xù)整數(shù)，故這兩個數(shù)一個為奇數(shù)，另一個為偶數(shù)．
由（Ⅱ）知道，n不是3的倍數(shù)，所以一定有n+1是3的倍數(shù)．
當(dāng)n為奇數(shù)時，n+1為偶數(shù)，而n（1+n）=12m，
所以一定有n+1既是3的倍數(shù)，又是4的倍數(shù)，所以n+1=12k，
所以n=12k-1，k∈N^*．…（10分）
定義集合D={1，5，7，11，…}，即集合D由集合U_n中所有不是3的倍數(shù)的奇數(shù)組成，
定義集合E={2，4，8，10，…}，即集合E由集合U_n中所有不是3的倍數(shù)的偶數(shù)組成，
根據(jù)集合A，B，C的性質(zhì)知道，集合A⊆D，B⊆E，
此時集合D，E中的元素之和都是24k²，而${S_A}={S_B}={S_C}=\frac{1}{3}\frac{n（1+n）}{2}=24{k^2}-2k$，
此時U_n中所有3的倍數(shù)的和為$\frac{（3+12k-3）（4k-1）}{2}=24{k^2}-6k$，24k²-（24k²-2k）=2k，（24k²-2k）-（24k²-6k）=4k
顯然必須從集合D，E中各取出一些元素，這些元素的和都是2k，
所以從集合D={1，5，7，11，…}中必須取偶數(shù)個元素放到集合C中，所以2k≥6，
所以k≥3，此時n≥35
而令集合A={7，11，13，17，19，23，25，29，31，35}，
集合B={8，10，14，16，20，22，26，28，32，34}，
集合C={3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，1，5，2，4}，
檢驗可知，此時U₃₅是可分集合，所以n的最小值為35．…（13分）

點評 本題考查了集合的運算性質(zhì)、元素與集合之間的關(guān)系、等差數(shù)列的前n項和公式、新定義，考查了分析問題與解決問題的能力、計算能力，屬于難題．