Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1+x（x≥0）}\\{1-x（x＜0）}\end{array}\right.$，并給出以下命題，其中正確的是（　�。�

• A． 函數(shù)y=f（sinx）是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)
• B． 函數(shù)y=f（sinx）是偶函數(shù)，不是周期函數(shù)
• C． 函數(shù)y=f（sin$\frac{1}{x}$）是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)
• D． 函數(shù)y=f（sin$\frac{1}{x}$）是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)

Answer 1

分析 求出y=f（sinx）的解析式，求出f[sin（-x）]，判斷f（sinx）與f[sin（-x）]的關(guān)系，利用函數(shù)周期的定義得出y=f（sinx）的周期．同理判斷y=f（sin$\frac{1}{x}$）的奇偶性和周期性．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1+x，x≥0}\\{1-x，x＜0}\end{array}\right.$，∴f（sinx）=$\left\{\begin{array}{l}{1+sinx，sinx≥0}\\{1-sinx，sinx＜0}\end{array}\right.$．
當(dāng)sinx＞0時(shí)，-sinx＜0，∴f[sin（-x）]=f（-sinx）=1+sinx=f（sinx），
當(dāng)sinx＜0時(shí)，-sinx＞0，∴f[sin（-x）]=f（-sinx）=1-sinx=f（sinx），
∴f（sinx）是偶函數(shù)，
∵f[sin（x+2π）]=f（sinx），∴y=f（sinx）是以2π為周期的函數(shù)．
同理可得：y=f（sin$\frac{1}{x}$）是偶函數(shù)，
∵y=sin$\frac{1}{x}$不是周期函數(shù)，∴y=f（sin$\frac{1}{x}$）不是周期函數(shù)．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷，屬于中檔題．